Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 1

Termin	Vinter 2021/22	
Institution	Aalborg City Gymnasium	
Uddannelse	stx	
Fag og niveau	MA, Niveau: A	
Lærer(e)	Kenneth Madsen (KEM)	
Hold	MA-BA-d3/e	

Gennemførte undervisningsforløb
Forløb 1 (ma)	Introduktion, udleverede materialer	
Forløb 2 (ma)	Differentialregning	
Forløb 3 (ma)	Integralregning	
Forløb 4 (ma)	Differentialligninger	
Forløb 5 (ma)	Inverse funktioner og harmonisk svingning	
Forløb 6 (ma)	Vektorregning	
Forløb 7 (ma)	Vektorfunktioner	
Forløb 8 (ma)	Funktioner af to variable	
Forløb 9 (ma)	Differensligninger	
Forløb 10 (ma)	Sandsynlighedsregning og statistik	

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 1

Titel	Introduktion, udleverede materialer	
Materiale	På skolen er følgende bøger udleveret til eleverne:  
Grundbog A3 Gyldendals Gymnasiematematik (Clausen, Schomacker & Tolnø, 2019)
ISBN: 978-87-02-24229-4 herefter forkortet A3
Grundbog A2 Gyldendals Gymnasiematematik (Clausen, Schomacker & Tolnø, 2018)
ISBN: 978-87-02-24227-0 herefter forkortet A2
	
Omfang	0,00 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse		
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 2

Titel	Differentialregning	
Materiale	Materialer: A2, s. 7-27. 
Formelsamling: s. 24-25
AACG Maple manual 2021 STX A.pdf kapitel 19
	
Omfang	6,67 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	Repetition af differentiation af funktioner samt notationen f’ og dy/dx.
Formelsamling s. 25 skema over afledede funktioner. 

Ligning for tangent (formel 130) og monotoniforhold med fokus på skriftlighed.

Regneregler for differentiation Formelsamling s. 24:
Først repeteres de intuitive og simple regler: 
Konstant gange funktion differentieret (formel 131)
Ledvis differentiation (formel 132 og 133) 
Regneregler for differentiation Formelsamling s. 24:
Produktreglen -når to funktioner ganget sammen skal differentieres - (formel 135) 
Herudover vises kvotientreglen. (Beviserne udskydes til sidst i kurset, hvis der er tid og behov for dem som mundtlige eksamensspørgsmål)
Differentiation af sammensatte funktioner (formel 136)

Optimering 
	
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 3

Titel	Integralregning	
Materiale	A2, kapitel 2, s.34-67. 
Formelsamling s. 26-28
AACG Maple manual 2021 STX A.pdf kapitel 22
	
Omfang	13,33 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	UBESTEMT INTEGRATION
A2 afsnit 2.1 Stamfunktioner og ubestemt integral s.34-41 
-Definition af stamfunktion og notation for disse (A2, s.34)
-Hvor mange stamfunktioner findes? 
Bevis for at alle funktioner af typen F(x)+k er stamfunktion (A2, s. 37)
Bevis for at forskellen mellem to stamfunktioner er konstant (A2, s. 37) 
Skema over stamfunktioner, Formelsamlingen side 26 (øvelse: vis med integrationsprøven at skemaet er korrekt)

A2 afsnit 2.3 Regneregler for ubestemt integration, s. 47-48
Bevis for regnereglerne (A2, s. 196-197) 
Formelsamlingen s. 27, formel (158)-(161)

A2 afsnit 2.5, s. 54-57 Ubestemt integration af sammensat funktion "integration ved substitution"  
Bevis for integration for substitution (A2, s. 56-57)
Formelsamling side 27 formel (162)
-Øv selv beviserne 

Opgavetyper til skriftlig eksamen: 
-Bestemmelse af stamfunktion.
-Bestemmelse af stamfunktion gennem bestemt punkt.
-Undersøg om en funktion er stamfunktion.

BESTEMT INTEGRATION
Defintion af bestemt integration (A2, s. 44)
regnereglerne (A2, s.49) 
Bevis regnereglerne (A2, s.197) 
A2, s. 57-58. Bestemt integration af sammensat funktion
Beviset laves som de andre regneregler (står ikke i bogen)
Formelsamling side 27, formel (163)-(168)

Bestemte integraler og arealer (primært anvendelse og skriftlighed)
A2 afsnit 2.2 arealer og bestemt integral, s. 41-47
A2 afsnit 2.4 areal mellem grafer s.49-54
Sætning 2.3 (s.42) og Sætning 2.4 (s.45), som skal læses sammen og perspektiveres til definitionen af det bestemte integral.
Anvendelse af (bestemt) integralregning til arealbestemmelse, formel (169)-(170)

Beviser for at arealfunktionen er stamfunktion. Volume af omdrejning og kurvelængde
A2 afsnit 6.5 areal og bestemt integral, s. 198-200 (samt bevis s. 49-50)
Definition af arealfunktion  (A2, s.198)
-Bevis for at arealfunktion er stamfunktion med den afledede funktion A'(x)=f(x) 
Med andre ord: arealfunktion er stamfunktion. (A2, s.198)
-Bevis at det bestemte integral svarer til arealet for en ikke-negativ kontinuert funktion i intervallet [a,b]. (A2, s.200)
-Bevis for arealet mellem to grafer svarer til formel 170. (A2, s. 49-50)
-øv selv beviserne

Volume af omdregningslegeme, formel (172) og (173) (A2, s. 61-64) 
AACG Maple manual 2021 STX A.pdf  afsnit 22.8
Kurvelængde, formel (171) (A4, s. 65-67)
AACG Maple manual 2021 STX A.pdf afsnit 22.7
Opgaver: Udvælges fra Vejledende enkeltopgaver.  
	
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 4

Titel	Differentialligninger	
Materiale	A3 kapitel 2 (s. 22-68) 
Derudover benyttes https://www.mathematicus.dk/matematik/kernestof/Differentialligninger.pdf
Derudover bruges Lærebog i matematik A3 STX, s.52-57 til panserformlen og beviser med denne.
Formelsamlingen s. 29-30
AACG Maple manual 2021 STX A.pdf kapitel 20
	
Omfang	16,67 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	Differentialligninger, gør prøve, tangent, linjeelement og hældningsfelt. 
Introduktion med fokus på opgaver uden hjælpemidler 
A3 afsnit 2.1 (s.22-27) introduktion
A3 afsnit 2.2 (s.28-29) undersøg om y er løsning. "at gøre prøve"
A3 afsnit 2.3 (s.30-31) Tangentligningen ud fra en differentialligning. 
A3 afsnit 2.4 (s.32-34) Linjeelementer og hældningsfelt. (Formel 181-183)

PUNKT1: 
-Først betragter vi formelsamlingen s. 29, hvor formlerne for differentialligninger får et par kommentarer med på vejen.

PUNKT2: Noten "Differentialligninger.PDF andet afsnit". (s.12-13)
-Gennemgang af differentialligningen y'=ay (væksthastighed for y er ligefrem proportional med størrelsen y. Uhæmmet vækst). 
-Bevis for løsning til differentialligningen. 
-Øv beviset selv med en makker.
Formel (176)

PUNKT3: Noten "Differentialligninger.PDF andet afsnit". (s. 14-15)
-Gennemgang af differentialligningen y'=b-ay (væksthastighed for y er ligefrem proportional med forskellen mellem b og størrelsen y. Forskudt eksponentiel vækst). 
-Bevis for løsning til differentialligningen. 
-Øv beviset selv med en makker.
Formel (177)

PUNKT4: Materiale: "Lærebog i matematik A3 STX, s.52-57)
-Definition af lineær differentialligning af 1. orden (Lærebog i matematik A3 STX, s.52.57). 
-Panserformlen og tilbageblik på de to ovenstående differentialligninger fra punkt2 og punkt3.
-Bevis for Panserformlen og de to forrige vækstmodeller fra punkt2 og punkt3.
-Øv beviserne selv med en makker.
Formel (180)

PUNKT5: Noten "Differentialligninger.PDF andet afsnit". Logistisk vækst (s.15-18)
-Gennemgang af differentialligningen y'=ay(M-y) (væksthastighed for y er ligefrem proportional med størrelsen y. Uhæmmet vækst). 
-Eksempel med ren matematisk opgave og en opgave i en kontekst. 
-Bevis for løsning til differentialligningen. 
-Øv beviset selv med en makker.
Formel (178) og (179)

PUNKT6:
-Seperation af variable (A3, afsnit 2.6). Formel (175)
-Opstilling af differentialligning ud fra tekstrepræsentation (Differentialligninger.PDF fjerde afsnit). (s.31-32)
-Opgaver MED hjælpemidler i MAPLE. 

OPGAVER  
Opgaver fra "Differentialligninger.PDF andet afsnit".
Øvelse 2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7
(2.1 og 2.2 er diff. ligningen y'=ay)
(2.3,2.4,2.5 er diff. ligningen y'=b-ay) 
(2.1-2.4 er rene mateamtikopgaver)
(2.5 er sat i en kontekst). 
(2.6, 2.7 logistisk)
-Øvelsesopgaver fra lærebog i matematik A3 STX: 
Øvelse 67-68
Øvelse 75,76
Øvelse 83,84 (y'=ay) 
Øvelse 85-88 (y'=b-ay)
Ønsker man at prøve panserformlen, lav da A3 STX: Øvelse 78-82.

Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 5

Titel	Inverse funktioner og harmonisk svingning	
Materiale	A3, kapitel 1, s.8-17
Formelsamling s. 18 i forbindelse med logaritmefunktioner som invers til e^x og 10^x
Formelsamling, s. 22-23 
AACG Maple manual 2021 STX A.pdf kapitel 21
	
Omfang	6,67 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	Inverse funktioner
Dagens materiale bygger hovedsageligt på de opgavetyper man møder til eksamen.

1) Introduktion af sammensætning af funktioner.
Opgaver fra Vejledende enkeltopgaver:
Opgave 2.D1.3-2.D1.5

2) Inverse funktioner: 
-Definition: funktionerne f og g er hinandens inverse når f(g(x))=x og g(f(x))=x
-Altså hvis man udfører dem efter hinanden, ophæver de hinanden. 
-En invers funktion betegnes f^(-1)(x), og læses “f opløftet i minus første af x”.

3) kort teoretisk indførelse af de inverse funktioner 10^x og log(x) samt e^x og ln(x) (formelsamling side 18)

Eksempel: Vis, at f(x)=1/2x+3 og g(x)=2x-6 er hinandens inverse.
Svar: dette gøres ved at teste om  sammensætningerne f(g(x)) og g(f(x)) giver x.

2.2) inverse funktioner vil derfor grafisk være hinandens spejling omkring linjen med ligningen y=x.
Eksempel: tegn grafen for f(x)=kvadratrod(x) og  f^(-1)(x)=x^2.

Skal i også kunne, men står ikke i jeres bog: 
2.3) Inverse funktioner betyder at når f(a)=b, altså grafen for f gr gennem punktet (a,b), så vil den inverse funktion f^(-1) gå gennem det omvendte, altså punktet (b,a). Dvs  f^(-1)(b)=(a).

Eksempel: på en figur aflæses at grafen for f går gennem punktet (4,6). Herudfra kan konkluderes, at den inverse funktion går gennem (6,4) altså f^(-1)(6)=4.

2.4) Bestem forskrift for den inverse funktion.
Gøres ved at bytte rundt, altså isolere x.

Eksempel:
Bestem den inverse funktion til 
f(x)=1/2x-7
Svar: isoler x 
y=1/2x-7 (her er y udtrykt ved x)
7+y=1/2x
14+2y=x (her er x udtrykt ved y, altså det omvendte).
Derfor er
14+2x=f^(-1)(x)

Opgave 2.D1.8-2.D1.12

10.01 Trigonometriske funktioner
Materialer: A3, s.10-17
Formelsamling, s. 22-23 
AACG Maple manual 2021 STX A.pdf kapitel 21
1) Radiantal: A3, s.10-11
-Enhedscirklen og intro til at regne med vinkler målt i radianer frem for grader.
-Omregning fra grader til radianer
-Omregning fra radianer til grader
Øvelse 103-105 fra A3 opgavebogen (udleveres på dagen).
-Uendeligt mange vinkler beskriver et retningspunkt
Øvelse 106-109 fra A3 opgavebogen (udleveres på dagen).

2) tegning af funktionerne: A3, s.12
f(x)=cos(x) og f2(x)=sin(x)
Gøres ud fra definitionen af cosinus og sinus i enhedscirklen og radiantal.
-google “Unit circle” for at få en god grafisk opsummering af grader, radianer og cosinus og sinus.

 3) Den harmoniske svingning, A3, s. 13-14
Lav eksperiment 1.1-1.7
Undersøgende arbejde, kan i selv udlede betydningen af koefficienternes betydning?
(Tænk fx på parallelforskydning)
-Fælles opsummering med en interaktiv harmonisk svingning. (Til KEM: findes på SYSTIME PlusA hf bog).
-Konklusion: definitionen af den harmoniske svingning, A3, s. 14.
Definitionen uddybes lidt ift. parallelforskydning med konstanten omega og phi. 

4) Det hele sættes i perspektiv til formelsamlingen, s. 22-23. 

5) opgaver: 
Læs eksempel 104, A3 s. 14-15
Lav øvelse 110-112 fra A3 opgavebogen (udleveres på dagen).
Læs eksempel 105, A3,	
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 6

Titel	Vektorregning	
Materiale	A2 kapitel 5, s. 142-180 
Lærebog i matematik B Stx kapitel 6.PDF s. 118-120 og 128-129 (bevis for vinkel mellem vektorer og projektion af vektorer)
Formelsamling s. 10-12 (vektorer)
Formelsamling s. 13-14 (linjer og cirkler)
AACG Maple manual 2021 STX A kapitel 16. vektorregning
	
Omfang	16,67 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	DE VIGTIGSTE BEGREBER
Gennemgang (eller repetition) af de vigtigste begreber indenfor vektorregning.
Der tages udgangspunkt i Formelsamling s. 10-12:
-Definition af vektor (formel 42)
-Nulvektor og modsatte vektor  
-Enhedsvektor (formel 43 og 44)
-Sum af vektorer (formel 47)
-Differensen mellem to vektorer (formel 48)
-Vektorer i et parallelogram
-Multiplikation af en vektor med et tal (formel 46)
-Længde af en vektor (formel 45)

Punkter og vektorer
-Vektoren mellem to punkter (forbindelsesvektor) (formel 49)
-Afstand mellem to punkter (formel 69, s.14)

PRIKPRODUKT, DETERMINANT
A2 afsnit 5.6, s.161-168

Prikprodukt/skalarprodukt (formel 50-54) 
Især vigtig bemærkning at ortogonale vektorer har prikproduktet nul (formel 53)
og omskrivningen af en vektor prikket med sig selv er kvadratet af længden af vektorern (formel 54)

Determinant (formel 58-61)
Især vigtig bemærkning, at parallelle vektorer har determinanten nul (formel 60)
og numerisk værdi af determinant er arealet af parallelogram, som udspændes af vektorerne (formel 61) 

Vejledende opgaver MatB 3.D1.1-3.D1.9 side 55

VINKEL MELLEM OG PROJEKTION AF VEKTORER
1)  A2 afsnit 5.2, s. 150-151
-Vinkel mellem vektorer (Med hjælpemidler), formel (51), (52)
-Bevis for vinkel mellem to vektorer (s. 118-120 i Lærebog i matematik B Stx kapitel 6.PDF) 
-Fælles eksempel først beregninger uden hjælpemidler og herefter brug af maple (se maplefilen i mappen Maplebrug for kommandoerne)
-Øvelsesopgave fra arbejdsbog A2, (ligger som arbejdsark i mappen arbejdsark) 

2) A2 afsnit 5.4, s.154-160 projektioner:
-Projektion af vektorer, formel (55), (56)
-Bevis for projektion af vektorer (s. 128-129 i Lærebog i matematik B Stx kapitel 6.PDF)
-Fælles eksempel først beregninger uden hjælpemidler og herefter brug af maple (se maplefilen i mappen Maplebrug for kommandoerne)
-Øvelsesopgave fra arbejdsbog A2, (ligger som arbejdsark i mappen arbejdsark) 

LINJER OG VEKTORER
A2 afsnit 5.1, s. 142-149 Ret linje
Retningsvektor og normalvektor for en ret linjen (formel 62)
3) Parameterfremstilling (formel 68) for en ret linje ud fra et punkt på linjen og en retningsvektor
4) Linjens ligning (formel 67) ud fra et punkt på linjen og en normalvektor. 
Til 3) og 4) benyttes A4, s. 142-154 med mange gode eksempler. 
A2 afsnit 5.3, s. 152-153 Skæring mellem linjer.
-Skæring mellem to parameterfremstillinger (løs to ligninger med to ubekendte, hvor koordinatfunktionerne sættes lig hinanden og den ene parameter substitueres med fx s).
-Skæring mellem to linjer givet ved deres ligninger
-Skæring mellem en linjes parameterfremstilling og en linjes ligning
 
CIRKLER
A2 afsnit 5.7, s. 169-170 afstand fra punkt til linje. (formel 71 og 72)
A2 afsnit 5.8, s. 171-180 cirkler
-Cirklens ligning (formel 73)
-Skæring mellem linje og cirkel
-Tangent til cirklen 
-Tangentens røringspunkt
	
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 7

Titel	Vektorfunktioner	
Materiale	A3, kapitel 3, s.70-87 
Formelsamling s. 31
AACG Maple manual 2021 STX A, kapitel 24
	
Omfang	13,33 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	Afsnit 3.1 (s.70-76)
definition af vektorfunktion.
Eksempel ved linjens parameterfremstilling og cirklens parameterfremstilling (formel 190) 
Skæring med x- og y-aksen

Afsnit 3.5 (s, 83-87)
Dobbeltpunkter og eksempel på opgavetyper hermed. 
Eksempel på bestemmelse af den anden koordinat til dobbeltpunktet
Eksempel på bestemmelse af dobbeltpunktet uden kendskab til en af parameterværdierne (løs to ligninger med to ubekendte, hvor koordinatfunktionerne sættes lig hinanden og den ene parameter substitueres med fx s).
Eksempel på bestemmelse af vinklen mellem to vektorer i et dobbeltpunkt. 

Skal i også kunne, men står ikke i jeres bog: 
Fra funktion f(x) til parameterfremstilling.
Sætning: hvis y=f(x) er en ligning/funktion for en kurve i planen, er
X(t)=t og y(t)=f(t) man erstatter bare x med t i funktionsforskriften for andenkoordinaten. 
Omvendt: fra parameterfremstilling til funktion:
Eliminering af parametre: isoler t i førstekoordinatens funktion, hvilket indsættes i andenkoordinatens funktion, hvormed man får en ligning med variablerne y og x.

Afsnit 3.2 (s. 76-78) teori til mundtlig eksamen.
Differentialkvotient for vektorfunktion.
Sætning og bevis for koordinatvis differentiation af vektorfunktion.

Afsnit 3.3 (s. 79-81)
Vandrette og lodrette tangenter
Tangentvektoren r’(t) og hvordan den bruges til opstilling af parameterfremstilling for tangent og tangentens ligning. 
Endvidere ses på, hvordan vinklen mellem to hastighedsvektorer bestemmes (sætningen og bevis for vinkel mellem to vektorer -se forløbet: Vektorregning)

Opsummering: 
Nemlig vektorfunktionen r(t)  består af to koordinatfunktioner (formel 184).
Grafen for vektorfunktionen kaldes en banekurve og består af stedvektorer OP til parameteren t (formel 187), kan tolkes som en partikels position til tiden t. 
Vektorfunktionen r(t) har den afledede funktion v(t)=r'(t) som kaldes tangentvektor/hastighedsvektor (formel 185). 
Længden af denne |v(t)| kaldes farten.
Den anden afledede funktion a(t)=v'(t)=r'(t) kaldes accelerationsvektoren (formel 186). 

OPGAVER
Herefter opgaver fra vejledende enkeltopgaver A (fra side 74)
Uden hjælpemidler 6.D1.3,4,5,6,9,10,11,12,13,
Herefter opgaver fra vejledende enkeltopgaver A (fra side 77)
Med hjælpemidler 6.D2.1,2,3,4,5,6,7,8,9,14,22,25,27,29
	
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 8

Titel	Funktioner af to variable	
Materiale	A3, kapitel 4, s. 104-120
Bevis for artsbestemmelse kap5_QR18_Arten_af_stationaere_punkter_Bevis_for_saetning_11.pdf (praxis.dk)
Formelsamling s. 32-34
AACG Maple manual STX A, kapitel 23
Supplerende læsning: Lærebog i matematik A3 STX, s.99-132
Fra den supplerende læsning er på klassen gennemgået: 
De blandede anden ordens afledede er ens (s. 114)
At de partielle afledede tangenthældning for snitkurven, som vises grafisk (s. 115)
At gradienten er en plan vektor, som giver retning i dm(f) som giver den største væksthastighed i f. Gradientens længde giver væksthastighedens størrelse (s. 120)
	
Omfang	13,33 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	INTRODUKTION
A4, afsnit 4.2, s.104-110
Vi ser på definitionen og grafen for en funktion af to variable. 
Udregning af funktionsværdier, samt bestemmelse af en koordinat i definitionsmængden når funktionsværdien kendes. 
Herefter ses nærmere på definitionsmængden for funktioner af to variable. 

Definitionen af snitkurver (formel 192)
Eksempel med f(x)=2x+y^2, hvor eleverne skal give et bud på grafens flade
Definitionen af niveaukurver/konturplot (formel 193).
Eksempel med f(x)=2x+y^2, hvor eleverne igen skal give et bud på grafens flade

Graf for en funktion af to variable.
Eksemplet tegnes med maple for at be/afkræfte elevernes arbejde. 

Opgaver fra vejledende enkeltopgaver A 
opgave 4.D1.1 a) 4.D1.2 a) 4.D2.1 og 4.D2.2

DIFFERENTIATION AF FUNKTIONER AF TO VARIABLE 
A3, afsnit 4.3 s.111-113 Partielle afledede (formel 194)  og gradient (formel 195) væksthastigheden er længden af gradienten i et punkt.
Anden ordens partielle afledede

BESTEMMELSE AF EKSTREMA
A3, afsnit 4.4, s. 116-120 
Stationært punkt er når gradienten er nulvektoren (formel 197)
Artsbestemmelse af stationære punkter (formel 198-201). 
Arten kan være et maksimum, minimum eller et saddelpunkt
 Formelsamling s.34.
Bevis kap5_QR18_Arten_af_stationaere_punkter_Bevis_for_saetning_11.pdf (praxis.dk)

Herefter opgaver fra vejledende enkeltopgaver
	
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 9

Titel	Differensligninger	
Materiale	Årets forberedelsesmateriale om differensligninger	
Omfang	6,67 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	Forberedelsesmaterialet er studieforberedende, hvilket indebærer at jeg ikke må  undervise jer i materialet, men det er selvstudie, hvor jeg må hjælpe og guide jer, når der opstår problemer.	
Væsentligste arbejdsformer		

 Aalborg City Gymnasium - Vinter 2021/22 - MA-BA-d3/e - Forløb nr. 10

Titel	Sandsynlighedsregning og statistik	
Materiale	A3, kapitel 5, s. 122-146 
Formelsamling s. 38-44
Maplemanual afsnit 25 normalfordeling 
	
Omfang	16,67 timers uddannelsestid.	
Beskrivelse	SANDSYNLIGHEDSREGNING
Formelsamling s. 39 Kombinatorik
Formelsamling s. 40 Sandsynlighedsregning og stokastisk variabel 

BINOMIAL- OG NORMALFORDELINGEN
A3, s. 122-129
Maplemanual afsnit 25 normalfordeling (A-niv) 
Formelsamling s. 42 og 43
Første lektion gennemgås (repeteres) binomialfordelingen. 

Binomialfordelingens histogram være afsæt til frekvensfunktionen (tæthedsfunktionen) for den kontinuerte normalfordeling. Funktionsforskriften for normalfordelingen præsenteres. (A3, s. 125-126)

Herefter ses på fordelingsfunktionen som arealet under frekvensfunktionen. 
Der ses på notationen P(a<x<b) som det bestemte integral af frekvensfunktionen fra a til b. 
Derefter øvelser med CAS til bestemmelse af intervalsandsynligheder. 

ER DATA FRA STIKPRØVE NORMALFORDELT?
Program: A3 s. 130-135  
Dagens program er opgaveorienteret. Hovedsageligt maplebrug og brug af maplemanualen (lidt fra deskriptiv statistik og normalfordelingen). 

Undersøg om data fra en stikprøve stammer fra en normalfordelt population 
Vi laver sammen et eksempel fra bogen med brug af maple. 
Herefter øvelser (vedhæftet)

LINEÆR REGRESSION, RESIDUALER OG KONFIDENSINTERVAL FOR HÆLDNING
Program A3, s. 135-146 (formelsamling side 38)
Dagens program omhandler vurdering af model og kriterier herfor: 
1. Tegn et punktplot af data og lav lineær regression. 
a passer datapunkterne nogenlunde med regressionslinjen?
2. Lav et residualplot
a. er residualerne tilfældigt spredt (godt tegn), eller er der en systematik i residualernes placering (skidt tegn)?
3. Udregn residualspredningen.
a. Er residualspredningen forholdsvis lille i forhold til y-værdierne i datasættet?
b. Er der enkelte datapunkter, som har residualer, der er langt større end residualspredningen (outlier)? Kan de skyldes målefejl?
4. Lav et fraktilplot.
a. Følger punkterne i fraktilplottet tilnærmelsesvist en ret linje?
b. Eventuelt test det i maple med ShapiroWilks test. 

Først laves i fællesskab eksempel med lineær regression (samme eksempel som nederst A3 s. 135), hvor vi ser nærmere på vurderingskriterie 1 og 2 ved brug af plots i maple. Bagefter laver vi manuel beregning af residualer og residualspredning for at få forståelse for, hvad residualer er for en størrelse (Formelsamling side 38).
Øvelse 513,514 

Eksempel kun med maplekommandoerne (vi laver A3 bogens eksempel 507 ved brug af maple)
Her undersøges også for outliers 
Øvelse 515
Undersøgelse af om residualerne er normalfordelte? 
Øvelse 516 
Herefter opgaver om regression og normalfordelte residualer.
Konfidensintervaller for hældningen 
	
Væsentligste arbejdsformer